Lange Spule

Die Induktivität einer langen Spule hängt von ihrer Geometrie und den physikalischen Eigenschaften des Mediums ab. Sie kann durch folgende Formel berechnet werden mit L = μo μr N^{^2} A / l. Innerhalb der Spule ist das magnetische Feld homogen, wenn die Randbedingungen vernachlässigt werden.

Beispiel:
Durchmesser 50 mm, Länge 100 mm, Windungszahl 5, berechnet sich zu
L = 0,616 µH und mit der Drahtlänge von 0,785 m und Drahtdurchmesser
2 mm wird der Ohmsche Widerstand mit Skin-Effekt bei 7,1 MHz, Rac = 0,856 Ω und die Leerlaufgüte Q ≈ 32,1.

Das Magnetfeld innerhalb der Spule kann durch das Ampèresche Gesetz berechnet werden. Es gilt Binnen = μo μr N l / L. Für eine idealisierte Spule mit Strom 1 A wird B = 62,8 µT. Das Feld außerhalb einer langen Spule ist wesentlich schwächer als im Inneren, da sich die Feldlinien innerhalb der Spule konzentrieren.
Für eine ideale lange Spule ist das Feld nicht mehr homogen, sondern nimmt stark ab. Es ähnelt dem Magnetfeld eines magnetischen Dipols, wobei die Feldlinien außerhalb der Spule eher einem Ringmagneten ähneln.
Das Feld außerhalb der Spule entsteht durch die Überlagerung der Felder der einzelnen Windungen. In größerer Entfernung kann man das Magnetfeld durch eine Dipol-Näherung annähern:
Baußerhalb ≈ μo μr / (4π m r hoch 3) mit m = N I A als das magnetische Moment der Spule und r die Entfernung von der Hauptspule. Es gilt auch Baußen ≈ Binnen ⋅ e−r/l. Das Magnetfeld fällt also mit der dritten Potenz der Entfernung ab, was bedeutet, dass es schnell schwächer wird. In der Nähe der Spule sind die Feldlinien komplizierter und hängen stark von der Windungsform ab.

Beispiel:
Spulenabstand der Koppelspule 2 mm, dann wird das äußere Feld B ≈ 61,6 µT und der Ohmsche Widerstand unter Berücksichtigung des Skin-Effektes ist Rac ≈ 0,856 Ω und der Verlust Pv ≈ 0,856 W.

Der Koppelgrad mit einem Abstand von 2 mm ist mit
kgeom = r^{^3} / (r^{^3} + d^{^3}) und d = 50 mm kgeom = 0,9995 und bedeutet, dass die beiden Spulen stark gekoppelt sind. Mit kgeom kann der Wert der Gegeninduktivität zu M ≈ kgeom mal Wurzel L1 L2 berechnet werden.

Die Eigenkapazität einer langen Spule beschreibt die parasitäre Kapazität zwischen benachbarten Windungen. Diese beeinflusst das Resonanzverhalten und kann eine Eigenresonanz verursachen. Näherungsweise gilt für die Eigenkapazität einer zylindrischen Spule
C ≈ εo εr A / d, alternativ dazu gibt es eine Formel nach Medhurst mit etwa 0,5 – 2 pF pro cm Durchmesser und ergibt näherungsweise für oben berechnete Spule C ≈ 7,5 pF. Manchmal wird die Eigenkapazität mit dem Durchmesser in cm der Spule etwa gleich der Eigenkapazität abgeschätzt.

Die Eigenresonanz berechnet sich in bekannte Weise mit L = 0,616 µH und der Eigenkapazität von 7,5 pF zu 7,4 MHz. Oberhalb dieser Frequenz verhält sich die Spule wie eine Kapazität und verliert die Eigenschaften als Spule. Die Betriebsfrequenz muss immer unterhalb der Eigenresonanz betrieben werden.

Wer mehr wissen will, sei auf meinen Beitrag: „Induktivitäten in der täglichen
Praxis“ verwiesen.

Dr. Walter Schau, DL3LH