Formelsammlung

Inhaltsverzeichnis

Info

Zehnerpotenz

PotenzDezimalSymbolPräfix
10-120,000 000 000 001pPiko
10-90,000 000 001nNano
10-60,000 001μMikro
10-30,001mMilli
10-20,01cZenti
10-10,1dDezi
1001
10110daDeka
102100hHekto
1031000kKilo
1061 000 000MMega
1091 000 000 000GGiga
10121 000 000 000 000TTera

Zweierpotenzen

PotenzWertBit
2010
2121
2242
2383
24164
25325
26646
271287
282568
295129
210102410
211204811
212409612

Widerstände

Ohmsches Gesetz

\begin{align*} U &= R \cdot I & R &= \frac{U}{I} & I &= \frac{U}{R} \end{align*}

Innenwiderstand \begin{equation*} R_i = \frac{\Delta U}{\Delta I} \end{equation*}

Widerstand von Drähten \begin{equation*} R = \rho \cdot \frac{l}{A_\text{Dr}}\end{equation*} \begin{equation*} A_{Dr} = \frac{d^2 \cdot \pi}{4} = r^2 \cdot \pi \end{equation*}

$l$ : Drahtlänge
$A_{Dr}$ : Drahtquerschnitt
$\rho$ : Spezifischer Widerstand in $\Omega\text{mm}^2/\text{m}$

Farbcode für Widerstände

FarbeWertMultiplikatorToleranz
Silber10-2 = 0,01±10 %
Gold10-1 = 0,1±5 %
Schwarz0100 = 1
Braun1101 = 10±1 %
Rot2102 = 100±2 %
Orange3103 = 1000
Gelb4104 = 10 000
Grün5105 = 100 000±0,5 %
Blau6106 = 1 000 000±0,25 %
Violett7107 = 10 000 000±0,1 %
Grau8108 = 100 000 000
Weiß9109 = 1 000 000 000
Keine±20 %

Widerstände in Reihenschaltung

\begin{equation*} R_G = R_1 + R_2 + R_3 + \dots + R_N \end{equation*}

Bei 2 Widerständen gilt

\begin{equation*} R_G = R_1 + R_2 \end{equation*}

Spannungsteiler (unbelastet)

\begin{align*} U_G &= U_1 + U_2 \qquad \frac{U_1}{U_2} = \frac{R_1}{R_2} \qquad \frac{U_2}{U_G} = \frac{R_2}{R_1 + R_2} \end{align*}

Widerstände in Parallelschaltung

\begin{equation*} \frac{1}{R_G} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} + \dots + \frac{1}{R_N} \end{equation*}

Bei 2 Widerständen gilt

\begin{equation*} R_G = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2} \end{equation*}

Stromteiler

\begin{align*} I_G = I_1 + I_2 \qquad \frac{I_2}{I_1} = \frac{R_1}{R_2} \end{align*}

Vorzugsreihen für die Nennwerte von Widerständen und Kondensatoren


Leistung

$$ P = U \cdot I = \frac{U^2}{R} = I^2 \cdot R $$

$$ U = \frac{P}{I} = \sqrt{P \cdot R} $$

$$ I = \frac{P}{U} = \sqrt{\frac{P}{R}}$$

Arbeit / Energie

$$ W = P \cdot t $$

Wirkungsgrad

$$ \eta = \frac{P_\text{ab}}{P_\text{zu}} = \frac{P_\text{ab}}{P_\text{zu}} \cdot 100\% \qquad P_\text{ab} = P_\text{zu} – P_\text{V} $$

Wechselspannung

Effektiv- und Spitzenwerte bei Sinusförmiger
Wechselspannung

$$ \hat{U} = U_\text{eff} \cdot \sqrt{2} \qquad U_\text{SS} = 2 \cdot \hat{U} $$

Periodendauer

$$ T = \frac{1}{f} \qquad f = \frac{1}{T} $$

Kreisfrequenz

$$ \omega = 2 \cdot \pi \cdot f $$

Scheinwiderstand

$$ Z = \sqrt{R^2 + X^2} $$

𝑍 : Scheinwiderstand
𝑋 : Blindwiderstand

Induktivität/Spule

Induktiver Blindwiderstand

$$ X_L = \omega \cdot L $$

Induktivitäten in Reihenschaltung

$$ L_G = L_1 + L_2 + L_3 + \ldots + L_N $$

Induktivitäten in Parallelschaltung

$$ \frac{1}{L_G} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2} + \frac{1}{L_3} + \ldots + \frac{1}{L_N} $$

Induktivität der Ringspule

$$ L = \frac{\mu_0 \cdot \mu_r \cdot N^2 \cdot A_S}{l_m} $$

Induktivität einer langen Zylinderspule

$$ L = \frac{\mu_0 \cdot \mu_r \cdot N^2 \cdot A_S}{l} $$

Induktivität von Ringkernspulen

Auch für mehrlagige Spulen

$$ 𝐿 = N^2 ⋅ {𝐴_L} $$

Magnetische Feldstärke in einer Ringspule

$$ H = \frac{I \cdot N}{l_m} $$

Magnetische Flussdichte

$$ B_m = \mu_r \cdot \mu_0 \cdot H $$

Transformator / Übertrager

Übersetzungsverhältnis

$$ ü = \frac{N_P}{N_S} = \frac{U_P}{U_S} = \frac{I_S}{I_P} = \sqrt{\frac{Z_P}{Z_S}} $$

Belastbarkeit von Wicklungen

$$ I = S \cdot A_\text{Dr} \quad \text{mit} \quad S \approx 2{,}5 \frac{\text{A}}{\text{mm}^2} $$

Kapazität/Kondensator

Kapazitiver Blindwiderstand

$$ X_C = \frac{1}{\omega \cdot C} $$

Kondensatoren in Reihenschaltung

$$ \frac{1}{C_G} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3} + \ldots + \frac{1}{C_N} % $$

Kondensatoren in Parallelschaltung

$$ C_G = C_1 + C_2 + C_3 + \ldots + C_N $$

Elektrische Feldstärke im homogenen Feld

$$ E = \frac{U}{d} $$

Kapazität eines Kondensators

$$ C = \epsilon_0 \cdot \epsilon_r \cdot \frac{A}{d} $$

𝐴 : Kondensatorplattenfläche
𝑑 : Plattenabstand
𝜖r : Relative Dielektrizitätszahl

Filter

RC-Tiefpass / RC-Hochpass

$$f_g = \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot R \cdot C}$$

$f_g$ : Grenzfrequenz (Frequenz am −3 dB-Punkt)

RL-Tiefpass / RL-Hochpass

$$ f_g = \frac{R}{2 \cdot \pi \cdot L} $$

Schwingkreis

Es gilt

$$ f_0 = \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot \sqrt{L} \cdot C} $$

Im Resonanzfall $X_C$ = $X_L$ gilt

Reihenschwingkreis

$$ B = \frac{R_s}{2 \cdot \pi \cdot L} $$

$$ Q = \frac{f_0}{B} = \frac{f_0}{X_L} = R_s $$

Parallelschwingkreis

$$ B = \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot R_p \cdot C} $$

$$ Q = \frac{f_0}{B} = R_p = X_L $$

Transistor

Für Gleichstrom gilt

$$ B = \frac{IC}{IB} \qquad IE = IC + IB$$

𝐵 : Gleichsstromverstärkung

Für Wechselstrom gilt

$$ vI = \beta = \frac{\Delta IC}{\Delta IB}\qquad vU = \beta = \frac{\Delta U_{CE}}{\Delta U_{BE}} \qquad vP = \beta^2 = vU \cdot vI $$

𝛽 : Wechselstromverstärkung

ZF und Spiegelfrequenzen

Um die Darstellung übersichtlich zu halten, wird der Fall $ f_{ZF} = f_E + f_{OSZ} $ nicht betrachtet.

Zwischenfrequenz

$$ f_{ZF} = S f_E – f_{OSZ}S =
\begin{cases}
f_{OSZ} – f_E &\text{wenn } f_E < f_{OSZ}\\
f_E – f_{OSZ} &\text{wenn } f_E > f_{OSZ}
\end{cases} $$

$f_{ZF}$ : Zwischenfrequenz
$f_E$ : Eingangsfrequenz
$f_{OSZ}$ : Oszillatorfrequenz

Spiegelfrequenz

$$ f_S = 2 \cdot f_{OSZ} – f_E = \begin{cases}
f_{OSZ} + f_{ZF} = f_E + 2 \cdot f_{ZF} & \text{wenn } f_E < f_{OSZ} \\
f_{OSZ} – f_{ZF} = f_E – 2 \cdot f_{ZF} & \text{wenn } f_E > f_{OSZ}
\end{cases} $$

Pegel

Leistungs und Spannungspegel

$$ p = 10 \cdot \log_{10} \left( \frac{P}{1 \, \text{mW}} \right) \, \text{dBm} $$

$$ p = 10 \cdot \log_{10} \left( \frac{P}{1 \, \text{W}} \right) \, \text{dBW} $$

$$ u = 20 \cdot \log_{10} \left( \frac{P}{0.775 \, \text{V}} \right) \, \text{dBu} $$

Verstärkung/Gewinn

$$ g = 10 \cdot \log_{10} \left( \frac{P_2}{P_1} \right) \, \text{dB} \qquad g = 20 \cdot \log_{10} \left( \frac{U_2}{U_1} \right) \, \text{dB} $$

Dämpfung/Verluste

$$ a = 10 \cdot \log_{10} \left( \frac{P_1}{P_2} \right) \, \text{dB} \qquad a = 20 \cdot \log_{10} \left( \frac{U_1}{U_2} \right) \, \text{dB} $$

dBLeistungsverhältnisSpannungsverhältnis
-20 dB0,010,1
-10 dB0,10,32
-6 dB0,250,5
-3 dB0,50,71
-1 dB0,790,89
0 dB11
1 dB1,261,12
3 dB21,41
6 dB42
10 dB103,16
20 dB10010

$P_1$ : Eingangsleistung
$P_2$ : Ausgangsleistung
$U_1$ : Eingangsspannung
$U_2$ : Ausgangsspannung

Strahlungsleistung und Gewinn von Antennen

ERP

$$ p_{ERP} = p_S – a + g_d $$

$$ P_{ERP} = P_S \cdot 10^{\frac{g_d – a}{10}} $$

Feldstärke im Fernfeld einer Antenne

$$E = \frac{\sqrt{30 \, \Omega \cdot P_A \cdot G_i}}{d} = \frac{\sqrt{30 \, \Omega \cdot P_{EIRP}}}{d} $$

Gilt für Freiraumausbreitung ab $ d > \frac{\lambda}{2 \pi}$

$P_A$ : Leistung an der Antenne

Gewinn von Antennen

$$G_i = G_d \cdot 1.64 \qquad g_i = g_d + 2.15 \, \text{dB} \qquad G = 10^{g / 10} \, \text{dB}$$

EIRP

$$p_{EIRP} = p_{ERP} + 2.15 \, \text{dB}$$

$$P_{EIRP} = P_{ERP} \cdot 1.64 = P_S \cdot 10^{\frac{g_d – a + 2.15}{10} \, \text{dB}}$$

Halbwellendipol

$$G_i = 1{,}64 \quad g_i = 2{,}15 \text{ dB}$$

λ/4-Vertikalantenne mit Bodenreflexion

$$G_i = 3{,}28 \quad g_i = 5{,}15 \text{ dB}$$

Parabolspiegelantenne

$$ g_i = 10 \cdot \log_{10} \left(\frac{\pi \cdot d}{\lambda}\right)^2 \cdot \eta\text{ dB} $$

Rauschen

Thermisches Rauschen

$$P_R = k \cdot T_K \cdot B$$

$$\Delta p_R = 10 \cdot \log_{10} \left( \frac{B_1}{B_2} \right) \, \text{dB}$$

$$ {U_R} = 2 ⋅ \sqrt {P_R} ⋅ 𝑅 $$

$P_R$: Rauschleistung
$Δ_{PR}$ : Pegelunterschied der Rauschleistungen in 𝐵1 und
$B_2$ z. B. in dB

Signal-Rausch-Verhältnis (SNR)

$$\text{SNR} = 10 \cdot \log_{10} \left( \frac{P_S}{P_N} \right) \, \text{dB} = 20 \cdot \log_{10} \left( \frac{U_S}{U_N} \right) \, \text{dB}$$

Shannon-Hartley-Gesetz für AWGN-Kanal

$$C = \frac{B}{1 \, \text{Hz}} \cdot \log_2 \left( 1 + \frac{P_S}{P_N} \right) \, \frac{bit}{s}$$

Rauschzahl

$$ {F} = \frac{\left (\frac{P_S}{P_N} \right )\, _\text{Eingang}}{\left ( \frac{P_S}{P_N} \right ) \, _\text{Ausgang}} $$

$$ a_F = 10 \cdot \log_{10}(F) $$

$$ a_F = \text{SNR}_\text{Eingang} -\text{SNR}_ \text{Ausgang}$$

$P_S$ : Signalleistung
$U_N$ : Rauschspannung
$P_N$ : Rauschleistung
$U_S$ : Signalspannung
$C$ : Maximale Datenübertragungsrate
$B$ : Bandbreite in Hz

Logarithmus zur Basis 2

$$ \log_2(x) = \frac{\log_{10}(x)}{\log_{10}(2)} $$

Amplitudenmodulation

Modulationsgrad

$$ m = \frac{U_{\text{mod}}}{U_T} $$

Bandbreite

$$ B = 2 \cdot f_{\text{mod max}} $$

Frequenzmodulation

Modulationsindex

$$ m = \frac{\Delta f_T}{f_{\text{mod}}} $$

Δ𝑓T : Frequenzhub

Carson-Bandbreite

$$ B \approx 2 \cdot (\Delta f_T + f_{\text{mod max}}) $$

Ungefähre FM-Bandbreite 𝐵 enthält etwa 99 % der
Gesamtleistung des Signals

Wellenlänge und Frequenz

Lichtgeschwindigkeit

$$ c = f \cdot \lambda \qquad f = \frac{c}{\lambda} \qquad \lambda = \frac{c}{f} $$

Im Freiraum gilt

$$ c = c_0 \approx 3 \cdot 10^8 \frac{\text{m}}{\text{s}} \approx 300\,000\,000 \frac{\text{m}}{\text{s}} $$

$$ f [\text{MHz}] \approx \frac{300}{\lambda [\text{m}]} \qquad \lambda [\text{m}] \approx \frac{300}{f [\text{MHz}]} $$

Verkürzungsfaktor von HF-Leitungen

$$ k_v = \frac{l_G}{l_E} = \frac{1}{\sqrt{\epsilon_r}} = \frac{c}{c_0} $$

$l_G$ : mechanische Länge
$l_E$ : elektrische Länge

Reflexion

Stehwellenverhältnis (SWR, SWV, VSWR)

$$ s = \frac{U_\text{max}}{U_\text{min}} = \frac{U_v + U_r}{U_v – U_r} = \frac{\sqrt{P_v} + \sqrt{P_r}}{\sqrt{P_v} – \sqrt{P_r}} = \frac{1 + |r|}{1 – |r|}$$

$$ s = \begin{cases}\frac{R_2}{Z}& \text{wenn } R_2 > Z \
\frac{Z}{R_2} & \text{wenn } R_2 < Z
\end{cases} $$

Reflexionsfaktor

$$ |r| = \frac{s – 1}{s + 1} = \left|\frac{R_2 – Z}{R_2 + Z}\right| = \frac{|U_r|}{|U_v|} = \sqrt{\frac{P_r}{P_v}} $$

Rücklaufende Leistung

$$ P_r = P_v \cdot |r|^2 $$

An $R_2$ abgegebene Leistung

$$ P_\text{ab} = P_v \cdot (1 – |r|^2) $$

$U_v$ : Spannung der hinlaufenden Welle
$U_r$ : Spannung der rücklaufenden Welle
$Z$ : Wellenwiderstand der HF-Leitung
$R_2$ : reeller Abschlusswiderstand der HF-Leitung
$P_v$ : vorlaufende Leistung
$P_r$ : rücklaufende (reflektierte) Leistung
$P_{ab}$ : Leistung an $R_2$

Wellenwiderstand

HF-Leitungen

$$Z = \sqrt{\frac{L^‘}{C^‘}} $$

Koaxiale Leitungen

$$ Z = \frac{60 \Omega}{\sqrt{\epsilon_r}} \cdot \ln \left(\frac{D}{d}\right) $$

𝐷 : Innendurchmesser Außenleiter
𝑑 : Durchmesser des Innenleiters

Symmetrische Zweidrahtleitungen $(a / d > 2.5)$

$$ Z = \frac{120 \Omega}{\sqrt{\epsilon_r}} \cdot \ln \left(\frac{2 \cdot a}{d}\right) $$

𝑎 : Mittenabstand der Leiter
𝑑 : Durchmesser der Leiter

Viertelwellentransformator

$$ Z = \sqrt{Z_E \cdot Z_A} $$

𝑍 : erforderlicher Wellenwiderstand einer
λ/4-Transformationsleitung

Weitere Formeln

Höchste brauchbare Frequenz

$$ \text{MUF} \approx \frac{f_c}{\sin(\alpha)} \qquad f_{\text{opt}} = \text{MUF} \cdot 0.85 $$

$$ f_{\text{opt}} : \text{Optimale Arbeitsfrequenz} $$


Empfindlichkeit von Messsystemen

$$ E_\text{MESS} = \frac{R_i}{U_i} = \frac{1}{I_i} $$

$E_\text{MESS}$: Empfindlichkeit in $\frac{\Omega}{V}$
$U_i$ : Spannung am System bei Vollausschlag
$I_i$ : Strom durch das System bei Vollausschlag


Relativer maximaler Fehler

$$ F_W = \pm \frac{G}{100} \cdot \frac{W_E}{W_M}$$

$F_\text{W}$ : relativer maximaler Fehler (in %)
$\text{G}$ : Genauigkeitsklasse des Messinstruments
$W_\text{E}$ : Endwert des Messbereichs
$W_\text{M}$ : abgelesener Wert (Ist-Wert)


Abtasttheorem

$$ f_{\text{abtast}} > 2 \cdot f_{\text{max}} $$

$f_{\text{abtast}}$ : Abtastrate
$f_{\text{min}}$ : Minimale Frequenz
$f_{\text{max}}$: Maximale Frequenz

für Nicht-Basisband-Signale

$$ f_{\text{abtast}} > 2 \cdot (f_{\text{max}} – f_{\text{min}}) \quad \text{wenn} \quad f_{\text{abtast}} < f_{\text{min}} \quad \text{oder} \quad f_{\text{abtast}} > f_{\text{max}} $$


Datenübertragungs-/Symbolrate

$$ C = R_S \cdot n $$

𝐶 : Datenübertragungsrate in Bit/s
𝑅S : Symbolrate in Baud
𝑛 : Symbolgröße in Bit/Symbo


Quelle:
Bundesnetzagentur für Elektrizität, Gas,
Telekommunikation, Post und Eisenbahnen
Stand: März 2024, 3. Auflage

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