Inhaltsverzeichnis
- 1 Info
- 2 Widerstände
- 3 Wechselspannung
- 4 Induktivität/Spule
- 5 Transformator / Übertrager
- 6 Kapazität/Kondensator
- 7 Filter
- 8 Schwingkreis
- 9 Transistor
- 10 ZF und Spiegelfrequenzen
- 11 Pegel
- 12 Strahlungsleistung und Gewinn von Antennen
- 13 Rauschen
- 14 Amplitudenmodulation
- 15 Frequenzmodulation
- 16 Wellenlänge und Frequenz
- 17 Reflexion
- 18 Wellenwiderstand
- 19 Weitere Formeln
- 20 Verpasse nichts Neues mehr ... 👋
Info
Zehnerpotenz
Potenz | Dezimal | Symbol | Präfix |
---|---|---|---|
10-12 | 0,000 000 000 001 | p | Piko |
10-9 | 0,000 000 001 | n | Nano |
10-6 | 0,000 001 | μ | Mikro |
10-3 | 0,001 | m | Milli |
10-2 | 0,01 | c | Zenti |
10-1 | 0,1 | d | Dezi |
100 | 1 | – | – |
101 | 10 | da | Deka |
102 | 100 | h | Hekto |
103 | 1000 | k | Kilo |
106 | 1 000 000 | M | Mega |
109 | 1 000 000 000 | G | Giga |
1012 | 1 000 000 000 000 | T | Tera |
Zweierpotenzen
Potenz | Wert | Bit |
---|---|---|
20 | 1 | 0 |
21 | 2 | 1 |
22 | 4 | 2 |
23 | 8 | 3 |
24 | 16 | 4 |
25 | 32 | 5 |
26 | 64 | 6 |
27 | 128 | 7 |
28 | 256 | 8 |
29 | 512 | 9 |
210 | 1024 | 10 |
211 | 2048 | 11 |
212 | 4096 | 12 |
Widerstände
Ohmsches Gesetz
\begin{align*} U &= R \cdot I & R &= \frac{U}{I} & I &= \frac{U}{R} \end{align*}
Innenwiderstand \begin{equation*} R_i = \frac{\Delta U}{\Delta I} \end{equation*}
Widerstand von Drähten \begin{equation*} R = \rho \cdot \frac{l}{A_\text{Dr}}\end{equation*} \begin{equation*} A_{Dr} = \frac{d^2 \cdot \pi}{4} = r^2 \cdot \pi \end{equation*}
$l$ : Drahtlänge
$A_{Dr}$ : Drahtquerschnitt
$\rho$ : Spezifischer Widerstand in $\Omega\text{mm}^2/\text{m}$
Farbcode für Widerstände
Farbe | Wert | Multiplikator | Toleranz |
---|---|---|---|
Silber | – | 10-2 = 0,01 | ±10 % |
Gold | – | 10-1 = 0,1 | ±5 % |
Schwarz | 0 | 100 = 1 | – |
Braun | 1 | 101 = 10 | ±1 % |
Rot | 2 | 102 = 100 | ±2 % |
Orange | 3 | 103 = 1000 | – |
Gelb | 4 | 104 = 10 000 | – |
Grün | 5 | 105 = 100 000 | ±0,5 % |
Blau | 6 | 106 = 1 000 000 | ±0,25 % |
Violett | 7 | 107 = 10 000 000 | ±0,1 % |
Grau | 8 | 108 = 100 000 000 | – |
Weiß | 9 | 109 = 1 000 000 000 | – |
Keine | – | – | ±20 % |
Widerstände in Reihenschaltung
\begin{equation*} R_G = R_1 + R_2 + R_3 + \dots + R_N \end{equation*}
Bei 2 Widerständen gilt
\begin{equation*} R_G = R_1 + R_2 \end{equation*}
Spannungsteiler (unbelastet)
\begin{align*} U_G &= U_1 + U_2 \qquad \frac{U_1}{U_2} = \frac{R_1}{R_2} \qquad \frac{U_2}{U_G} = \frac{R_2}{R_1 + R_2} \end{align*}
Widerstände in Parallelschaltung
\begin{equation*} \frac{1}{R_G} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} + \dots + \frac{1}{R_N} \end{equation*}
Bei 2 Widerständen gilt
\begin{equation*} R_G = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2} \end{equation*}
Stromteiler
\begin{align*} I_G = I_1 + I_2 \qquad \frac{I_2}{I_1} = \frac{R_1}{R_2} \end{align*}
Vorzugsreihen für die Nennwerte von Widerständen und Kondensatoren
Leistung
$$ P = U \cdot I = \frac{U^2}{R} = I^2 \cdot R $$
$$ U = \frac{P}{I} = \sqrt{P \cdot R} $$
$$ I = \frac{P}{U} = \sqrt{\frac{P}{R}}$$
Arbeit / Energie
$$ W = P \cdot t $$
Wirkungsgrad
$$ \eta = \frac{P_\text{ab}}{P_\text{zu}} = \frac{P_\text{ab}}{P_\text{zu}} \cdot 100\% \qquad P_\text{ab} = P_\text{zu} – P_\text{V} $$
Wechselspannung
Effektiv- und Spitzenwerte bei Sinusförmiger
Wechselspannung
$$ \hat{U} = U_\text{eff} \cdot \sqrt{2} \qquad U_\text{SS} = 2 \cdot \hat{U} $$
Periodendauer
$$ T = \frac{1}{f} \qquad f = \frac{1}{T} $$
Kreisfrequenz
$$ \omega = 2 \cdot \pi \cdot f $$
Scheinwiderstand
$$ Z = \sqrt{R^2 + X^2} $$
𝑍 : Scheinwiderstand
𝑋 : Blindwiderstand
Induktivität/Spule
Induktiver Blindwiderstand
$$ X_L = \omega \cdot L $$
Induktivitäten in Reihenschaltung
$$ L_G = L_1 + L_2 + L_3 + \ldots + L_N $$
Induktivitäten in Parallelschaltung
$$ \frac{1}{L_G} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2} + \frac{1}{L_3} + \ldots + \frac{1}{L_N} $$
Induktivität der Ringspule
$$ L = \frac{\mu_0 \cdot \mu_r \cdot N^2 \cdot A_S}{l_m} $$
Induktivität einer langen Zylinderspule
$$ L = \frac{\mu_0 \cdot \mu_r \cdot N^2 \cdot A_S}{l} $$
Induktivität von Ringkernspulen
Auch für mehrlagige Spulen
$$ 𝐿 = N^2 ⋅ {𝐴_L} $$
Magnetische Feldstärke in einer Ringspule
$$ H = \frac{I \cdot N}{l_m} $$
Magnetische Flussdichte
$$ B_m = \mu_r \cdot \mu_0 \cdot H $$
Transformator / Übertrager
Übersetzungsverhältnis
$$ ü = \frac{N_P}{N_S} = \frac{U_P}{U_S} = \frac{I_S}{I_P} = \sqrt{\frac{Z_P}{Z_S}} $$
Belastbarkeit von Wicklungen
$$ I = S \cdot A_\text{Dr} \quad \text{mit} \quad S \approx 2{,}5 \frac{\text{A}}{\text{mm}^2} $$
Kapazität/Kondensator
Kapazitiver Blindwiderstand
$$ X_C = \frac{1}{\omega \cdot C} $$
Kondensatoren in Reihenschaltung
$$ \frac{1}{C_G} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3} + \ldots + \frac{1}{C_N} % $$
Kondensatoren in Parallelschaltung
$$ C_G = C_1 + C_2 + C_3 + \ldots + C_N $$
Elektrische Feldstärke im homogenen Feld
$$ E = \frac{U}{d} $$
Kapazität eines Kondensators
$$ C = \epsilon_0 \cdot \epsilon_r \cdot \frac{A}{d} $$
𝐴 : Kondensatorplattenfläche
𝑑 : Plattenabstand
𝜖r : Relative Dielektrizitätszahl
Filter
RC-Tiefpass / RC-Hochpass
$$f_g = \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot R \cdot C}$$
$f_g$ : Grenzfrequenz (Frequenz am −3 dB-Punkt)
RL-Tiefpass / RL-Hochpass
$$ f_g = \frac{R}{2 \cdot \pi \cdot L} $$
Schwingkreis
Es gilt
$$ f_0 = \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot \sqrt{L} \cdot C} $$
Im Resonanzfall $X_C$ = $X_L$ gilt
Reihenschwingkreis
$$ B = \frac{R_s}{2 \cdot \pi \cdot L} $$
$$ Q = \frac{f_0}{B} = \frac{f_0}{X_L} = R_s $$
Parallelschwingkreis
$$ B = \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot R_p \cdot C} $$
$$ Q = \frac{f_0}{B} = R_p = X_L $$
Transistor
Für Gleichstrom gilt
$$ B = \frac{IC}{IB} \qquad IE = IC + IB$$
𝐵 : Gleichsstromverstärkung
Für Wechselstrom gilt
$$ vI = \beta = \frac{\Delta IC}{\Delta IB}\qquad vU = \beta = \frac{\Delta U_{CE}}{\Delta U_{BE}} \qquad vP = \beta^2 = vU \cdot vI $$
𝛽 : Wechselstromverstärkung
ZF und Spiegelfrequenzen
Um die Darstellung übersichtlich zu halten, wird der Fall $ f_{ZF} = f_E + f_{OSZ} $ nicht betrachtet.
Zwischenfrequenz
$$ f_{ZF} = S f_E – f_{OSZ}S =
\begin{cases}
f_{OSZ} – f_E &\text{wenn } f_E < f_{OSZ}\\
f_E – f_{OSZ} &\text{wenn } f_E > f_{OSZ}
\end{cases} $$
$f_{ZF}$ : Zwischenfrequenz
$f_E$ : Eingangsfrequenz
$f_{OSZ}$ : Oszillatorfrequenz
Spiegelfrequenz
$$ f_S = 2 \cdot f_{OSZ} – f_E = \begin{cases}
f_{OSZ} + f_{ZF} = f_E + 2 \cdot f_{ZF} & \text{wenn } f_E < f_{OSZ} \\
f_{OSZ} – f_{ZF} = f_E – 2 \cdot f_{ZF} & \text{wenn } f_E > f_{OSZ}
\end{cases} $$
Pegel
Leistungs und Spannungspegel
$$ p = 10 \cdot \log_{10} \left( \frac{P}{1 \, \text{mW}} \right) \, \text{dBm} $$
$$ p = 10 \cdot \log_{10} \left( \frac{P}{1 \, \text{W}} \right) \, \text{dBW} $$
$$ u = 20 \cdot \log_{10} \left( \frac{P}{0.775 \, \text{V}} \right) \, \text{dBu} $$
Verstärkung/Gewinn
$$ g = 10 \cdot \log_{10} \left( \frac{P_2}{P_1} \right) \, \text{dB} \qquad g = 20 \cdot \log_{10} \left( \frac{U_2}{U_1} \right) \, \text{dB} $$
Dämpfung/Verluste
$$ a = 10 \cdot \log_{10} \left( \frac{P_1}{P_2} \right) \, \text{dB} \qquad a = 20 \cdot \log_{10} \left( \frac{U_1}{U_2} \right) \, \text{dB} $$
dB | Leistungsverhältnis | Spannungsverhältnis |
---|---|---|
-20 dB | 0,01 | 0,1 |
-10 dB | 0,1 | 0,32 |
-6 dB | 0,25 | 0,5 |
-3 dB | 0,5 | 0,71 |
-1 dB | 0,79 | 0,89 |
0 dB | 1 | 1 |
1 dB | 1,26 | 1,12 |
3 dB | 2 | 1,41 |
6 dB | 4 | 2 |
10 dB | 10 | 3,16 |
20 dB | 100 | 10 |
$P_1$ : Eingangsleistung
$P_2$ : Ausgangsleistung
$U_1$ : Eingangsspannung
$U_2$ : Ausgangsspannung
Strahlungsleistung und Gewinn von Antennen
ERP
$$ p_{ERP} = p_S – a + g_d $$
$$ P_{ERP} = P_S \cdot 10^{\frac{g_d – a}{10}} $$
Feldstärke im Fernfeld einer Antenne
$$E = \frac{\sqrt{30 \, \Omega \cdot P_A \cdot G_i}}{d} = \frac{\sqrt{30 \, \Omega \cdot P_{EIRP}}}{d} $$
Gilt für Freiraumausbreitung ab $ d > \frac{\lambda}{2 \pi}$
$P_A$ : Leistung an der Antenne
Gewinn von Antennen
$$G_i = G_d \cdot 1.64 \qquad g_i = g_d + 2.15 \, \text{dB} \qquad G = 10^{g / 10} \, \text{dB}$$
EIRP
$$p_{EIRP} = p_{ERP} + 2.15 \, \text{dB}$$
$$P_{EIRP} = P_{ERP} \cdot 1.64 = P_S \cdot 10^{\frac{g_d – a + 2.15}{10} \, \text{dB}}$$
Halbwellendipol
$$G_i = 1{,}64 \quad g_i = 2{,}15 \text{ dB}$$
λ/4-Vertikalantenne mit Bodenreflexion
$$G_i = 3{,}28 \quad g_i = 5{,}15 \text{ dB}$$
Parabolspiegelantenne
$$ g_i = 10 \cdot \log_{10} \left(\frac{\pi \cdot d}{\lambda}\right)^2 \cdot \eta\text{ dB} $$
Rauschen
Thermisches Rauschen
$$P_R = k \cdot T_K \cdot B$$
$$\Delta p_R = 10 \cdot \log_{10} \left( \frac{B_1}{B_2} \right) \, \text{dB}$$
$$ {U_R} = 2 ⋅ \sqrt {P_R} ⋅ 𝑅 $$
$P_R$: Rauschleistung
$Δ_{PR}$ : Pegelunterschied der Rauschleistungen in 𝐵1 und
$B_2$ z. B. in dB
Signal-Rausch-Verhältnis (SNR)
$$\text{SNR} = 10 \cdot \log_{10} \left( \frac{P_S}{P_N} \right) \, \text{dB} = 20 \cdot \log_{10} \left( \frac{U_S}{U_N} \right) \, \text{dB}$$
Shannon-Hartley-Gesetz für AWGN-Kanal
$$C = \frac{B}{1 \, \text{Hz}} \cdot \log_2 \left( 1 + \frac{P_S}{P_N} \right) \, \frac{bit}{s}$$
Rauschzahl
$$ {F} = \frac{\left (\frac{P_S}{P_N} \right )\, _\text{Eingang}}{\left ( \frac{P_S}{P_N} \right ) \, _\text{Ausgang}} $$
$$ a_F = 10 \cdot \log_{10}(F) $$
$$ a_F = \text{SNR}_\text{Eingang} -\text{SNR}_ \text{Ausgang}$$
$P_S$ : Signalleistung
$U_N$ : Rauschspannung
$P_N$ : Rauschleistung
$U_S$ : Signalspannung
$C$ : Maximale Datenübertragungsrate
$B$ : Bandbreite in Hz
Logarithmus zur Basis 2
$$ \log_2(x) = \frac{\log_{10}(x)}{\log_{10}(2)} $$
Amplitudenmodulation
Modulationsgrad
$$ m = \frac{U_{\text{mod}}}{U_T} $$
Bandbreite
$$ B = 2 \cdot f_{\text{mod max}} $$
Frequenzmodulation
Modulationsindex
$$ m = \frac{\Delta f_T}{f_{\text{mod}}} $$
Δ𝑓T : Frequenzhub
Carson-Bandbreite
$$ B \approx 2 \cdot (\Delta f_T + f_{\text{mod max}}) $$
Ungefähre FM-Bandbreite 𝐵 enthält etwa 99 % der
Gesamtleistung des Signals
Wellenlänge und Frequenz
Lichtgeschwindigkeit
$$ c = f \cdot \lambda \qquad f = \frac{c}{\lambda} \qquad \lambda = \frac{c}{f} $$
Im Freiraum gilt
$$ c = c_0 \approx 3 \cdot 10^8 \frac{\text{m}}{\text{s}} \approx 300\,000\,000 \frac{\text{m}}{\text{s}} $$
$$ f [\text{MHz}] \approx \frac{300}{\lambda [\text{m}]} \qquad \lambda [\text{m}] \approx \frac{300}{f [\text{MHz}]} $$
Verkürzungsfaktor von HF-Leitungen
$$ k_v = \frac{l_G}{l_E} = \frac{1}{\sqrt{\epsilon_r}} = \frac{c}{c_0} $$
$l_G$ : mechanische Länge
$l_E$ : elektrische Länge
Reflexion
Stehwellenverhältnis (SWR, SWV, VSWR)
$$ s = \frac{U_\text{max}}{U_\text{min}} = \frac{U_v + U_r}{U_v – U_r} = \frac{\sqrt{P_v} + \sqrt{P_r}}{\sqrt{P_v} – \sqrt{P_r}} = \frac{1 + |r|}{1 – |r|}$$
$$ s = \begin{cases}\frac{R_2}{Z}& \text{wenn } R_2 > Z \
\frac{Z}{R_2} & \text{wenn } R_2 < Z
\end{cases} $$
Reflexionsfaktor
$$ |r| = \frac{s – 1}{s + 1} = \left|\frac{R_2 – Z}{R_2 + Z}\right| = \frac{|U_r|}{|U_v|} = \sqrt{\frac{P_r}{P_v}} $$
Rücklaufende Leistung
$$ P_r = P_v \cdot |r|^2 $$
An $R_2$ abgegebene Leistung
$$ P_\text{ab} = P_v \cdot (1 – |r|^2) $$
$U_v$ : Spannung der hinlaufenden Welle
$U_r$ : Spannung der rücklaufenden Welle
$Z$ : Wellenwiderstand der HF-Leitung
$R_2$ : reeller Abschlusswiderstand der HF-Leitung
$P_v$ : vorlaufende Leistung
$P_r$ : rücklaufende (reflektierte) Leistung
$P_{ab}$ : Leistung an $R_2$
Wellenwiderstand
HF-Leitungen
$$Z = \sqrt{\frac{L^‘}{C^‘}} $$
Koaxiale Leitungen
$$ Z = \frac{60 \Omega}{\sqrt{\epsilon_r}} \cdot \ln \left(\frac{D}{d}\right) $$
𝐷 : Innendurchmesser Außenleiter
𝑑 : Durchmesser des Innenleiters
Symmetrische Zweidrahtleitungen $(a / d > 2.5)$
$$ Z = \frac{120 \Omega}{\sqrt{\epsilon_r}} \cdot \ln \left(\frac{2 \cdot a}{d}\right) $$
𝑎 : Mittenabstand der Leiter
𝑑 : Durchmesser der Leiter
Viertelwellentransformator
$$ Z = \sqrt{Z_E \cdot Z_A} $$
𝑍 : erforderlicher Wellenwiderstand einer
λ/4-Transformationsleitung
Weitere Formeln
Höchste brauchbare Frequenz
$$ \text{MUF} \approx \frac{f_c}{\sin(\alpha)} \qquad f_{\text{opt}} = \text{MUF} \cdot 0.85 $$
$$ f_{\text{opt}} : \text{Optimale Arbeitsfrequenz} $$
Empfindlichkeit von Messsystemen
$$ E_\text{MESS} = \frac{R_i}{U_i} = \frac{1}{I_i} $$
$E_\text{MESS}$: Empfindlichkeit in $\frac{\Omega}{V}$
$U_i$ : Spannung am System bei Vollausschlag
$I_i$ : Strom durch das System bei Vollausschlag
Relativer maximaler Fehler
$$ F_W = \pm \frac{G}{100} \cdot \frac{W_E}{W_M}$$
$F_\text{W}$ : relativer maximaler Fehler (in %)
$\text{G}$ : Genauigkeitsklasse des Messinstruments
$W_\text{E}$ : Endwert des Messbereichs
$W_\text{M}$ : abgelesener Wert (Ist-Wert)
Abtasttheorem
$$ f_{\text{abtast}} > 2 \cdot f_{\text{max}} $$
$f_{\text{abtast}}$ : Abtastrate
$f_{\text{min}}$ : Minimale Frequenz
$f_{\text{max}}$: Maximale Frequenz
für Nicht-Basisband-Signale
$$ f_{\text{abtast}} > 2 \cdot (f_{\text{max}} – f_{\text{min}}) \quad \text{wenn} \quad f_{\text{abtast}} < f_{\text{min}} \quad \text{oder} \quad f_{\text{abtast}} > f_{\text{max}} $$
Datenübertragungs-/Symbolrate
$$ C = R_S \cdot n $$
𝐶 : Datenübertragungsrate in Bit/s
𝑅S : Symbolrate in Baud
𝑛 : Symbolgröße in Bit/Symbo
Quelle:
Bundesnetzagentur für Elektrizität, Gas,
Telekommunikation, Post und Eisenbahnen
Stand: März 2024, 3. Auflage