ist ein einfaches mathematisches Werkzeug, das eine Differentialgleichung in eine algebraische Gleichung überführt und so die Analyse und Lösung komplexer Systeme erlaubt. Die LT wandelt eine Zeit Funktion f(t) in eine Funktion F(s) im Bildbereich um, dabei ist s eine komplexe Variable.
In der Physik treten immer Differentialgleichungen auf, wie bei der Analyse elektrischer Schaltkreise oder mechanischer Systeme. Die Laplace-Transformation vereinfacht diese, indem sie sie in lineare Gleichungen wandelt.
In der Signalverarbeitung wird die LT verwendet, um Signale und Systeme zu analysieren und zu modellieren, insbesondere in Kombination mit der Rücktransformation in den Zeit Bereich.
Die LT-Transformation ist Grundlage der SDR Technik und aus der modernen Wissenschaft nicht mehr wegzudenken. Die Fähigkeit, Zeit- und Bildbereiche zu verknüpfen hat revolutionäre Fortschritte in der Ingenieurwissenschaft, Signalverarbeitung und der Mathematik ermöglicht, in dem sie scheinbar unlösbare Gleichungen in einfache algebraische Ausdrücke wandelt.
So wird die Ableitung einer Zeit Funktion im Bildbereich zu der einfachen Funktion sF(s) – f(0) und vereinfacht die Lösung von Differentialgleichungen, da aus der Differentiation eine algebraische Beziehung entsteht, die leicht lösbar ist.
Wird eine Funktion im Zeit Bereich verschoben, ergibt das im Bildbereich eine einfache Multiplikation mit der e-Funktion. Auch die Faltung zweier Zeit Funktionen f(t) * g(t) erzeugt im Bildbereich nur eine einfache Multiplikation.
Die Inverse Laplace-Transformation erfordert entweder das Anwenden des Residuen Satzes, der einfachen Partialbruchzerlegung oder Tabellen, um zur ursprünglichen Funktion f(t) zurückzukehren.
Praktische Beispiele sind die Untersuchung von Dämpfung und Resonanz in Schwingungssystemen, das Design von Filtern und Modellen zur Übertragung von Signalen sowie der Entwurf stabiler Regelsysteme.
Die Laplace-Transformation ist das Bindeglied zwischen Theorie und Praxis, deren Mächtigkeit in der Fähigkeit liegt, komplexe Probleme auf elegante Weise zu vereinfachen – von der Differentialgleichung bis hin zu mechanischen Schwingungen von Lüfterschaufeln und Turbinen.
Literatur:
- Laplace-, Fourier- und z-Transformation von Hubert Weber und Helmut Ulrich.
- Einführung in Theorie und Anwendung der LT von Gustav Doetsch. Ein Klassiker, der die
Grundlagen und Anwendungen der Laplace-Transformation detailliert erklärt. - Holbrook: Laplace-Transformationen. Ein Lehrbuch für Elektroniker ist Teil der Uni-Texte-
Reihe und bietet eine Einführung in die Theorie und Anwendungen der LT, insbesondere für Studierende der Elektrotechnik und kann von jedem Funkamateur mit Grundkenntnissen in der Mathematik verstanden werden. Meiner Meinung nach die beste Literatur unter den 3 Hinweisen.
Natürlich kommt der normale Amateur auch ohne diese Grundkenntnisse aus, er kauft den fertigen SDR Transceiver und hat keine Ahnung, was hinter der Frontplatte so alles abläuft. Die Einstellungen der SDR Parameter kann dem Netz entnommen werden und ähnelt mehr einem Blindflug ohne Instrumente. Das ist moderner Amateurfunk und kein Versuchsfunk mehr.
Wie sagte DJ9LZ, Klaus aus Stade: „Nur noch Frontplatten Snacker“.
Dr. Walter Schau, DL3LH